В настоящий момент в базе находятся следующие задачи. Задачи, помеченные светло-зеленым цветом, можно купить. Базовая цена 30 руб. Подробней об оплате
3-01. Проверить следующие операторные равенства: а)Ах=1+ < dx dx ч 2 d I d . б). хг - - = х- -1; dx л: dx + 1 d d2 2 d | 30 руб. | none |
3-02. Найти результат действия операторов -- х2 и I - х I на функции: dx dx J a) cosx; б) ех. | 30 руб. | none |
3-03. Найти собственное значение оператора А, принадлежащее собственной функции |/л, если: ч -i A2 а) А = г, уА-- Ах2 А 6)А=-?-2+х2, . -. А2 2 d . sinccx В А - U ш - l - * 2 ^ m А Ах х Ах х | 30 руб. | none |
3-04. Найти собственные функции ф и собственные значения следующих операторов: d а) - i -, если >(х) = >(х+а), а - постоянная; d^ Ах б) г, если uf = O ПРИ -^ = 0 и /. | 30 руб. | none |
3-05. Показать, что если операторы А и В линейные, то операторы А + В и А В также линейные. | 30 руб. | none |
3-06. Доказать следующие коммутационные соотношения: а) [А, В+С] = [А, В] + [А, С]; б) [А, ВС] = [А, В]С + В[А, С]. | 30 руб. | none |
3-07. Доказать, что если операторы А я В коммутируют, то: а) (А + ВJ = А2 + 2АВ + В2; (А + В)(А- В) = А2 - В2; б) [(А+В), (А-В)=0. ^ | 30 руб. | none |
3-08. Оператор А2 - А+А. Доказать, что если операторы А1 и А2 коммутируют с оператором В, то с ним коммутирует и оператор А2. | 30 руб. | none |
3-09. Доказать, что если коммутатор А, 2?] = 1, то: а) [А, В2] = 2В; б) [А, В3] = ЗВ2; в) [А2, В2] = 2(АВ + | 30 руб. | none |
3-10. Проверить следующие равенства для коммутаторов: а) [*> Рх] = *Ь> [х, Ру] = 0, [Рх, Ру] = ° > б) [/D A.] = iftg. №). ^2] = 2iftg/J, + "20; в) [х2, [х, ^2]]=-4Й2х. Здесь /(х) - произвольная функция координаты. | 30 руб. | none |
3-11. Проверить следующие правила коммутации для гамильтониана Я в потенциальном поле U(x): а) [Я, х-=-~ рх- б) [Я, px] = ih8-^; в) [Н, p2.~ = 2ihj~ l | 30 руб. | none |
3-12. Оператор А коммутирует с операторами Вл и С. Можно ли отсюда заключить, что операторы В и С коммутативны? | 30 руб. | none |
3-13. Доказать следующие теоремы: а) если операторы А и В имеют общие собственные функции, то такие операторы коммутируют; б) если операторы А и В коммутируют, то они имеют общие собственные функции (доказательство провести для случая, когда вырождение отсутствует). | 30 руб. | none |
3-14. Найти общую собственную функцию следующих операторов: а) х и ру; б) рх, ру и pz; в) рх и р2х. | 30 руб. | none |
3-15. В некотором состоянии фл система имеет определенное значение физической величины А. Имеет ли в этом состоянии определенное значение также и величина В, если соответствующие им операторы А и В коммутативны? | 30 руб. | none |
3-16. Доказать, что если оператор А эрмитов, то его собственные значения вещественны. | 30 руб. | none |
3-17. Доказать эрмитовость следующих операторов: а) рх б) хрх. Указание: иметь в виду, что на бесконечности волновые функции и их производные обращаются в нуль. | 30 руб. | none |
3-18. Воспользовавшись эрмитовостью оператора рх и указанием к предыдущей задаче (Доказать эрмитовость следующих операторов: а) рх б) хрх. Указание: иметь в виду, что на бесконечности волновые функции и их производные обращаются в нуль.), доказать эрмитовость операторов: а) Р1 б) Я. л | 30 руб. | none |
3-19. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы и коммутирующие, то оператор А В эрмитов. | 30 руб. | none |
3-20. Доказать, что если оператор А эрмитов, то и оператор А также эрмитов, где n - целое положительное. | 30 руб. | none |
3-21. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы, то операторы А+В и АВ+ВА также эрмитовы. | 30 руб. | none |
3-22. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы и некоммутирующие, то оператрр: а) [А, В не эрмитов; б) i A, В эрмитов. | 30 руб. | none |
3-23. Найти собственные значения и нормированные собственные функции операторов: а) 4; б) Q. | 30 руб. | none |
3-24. Найти собственные значения оператора L2, соответствующие его собственной функции 7(9, ф) = = A (cos 9 + 2 sin 9 cos ф). | 30 руб. | none |
3-25. Доказать, что оператор Lz эрмитов. Доказательство провести: а) в полярных координатах; б) в декартовых координатах. | 30 руб. | none |
3-26. Доказать эрмитоврсть оператора L2, имея в виду, что операторы Lx, Ly и Lz эрмитовы. | 30 руб. | none |
3-27. Проверить следующие правила коммутации: а) [х, Lx] = 0; б) [г, Lx]=-ihz; в) [z, ? x] = ihy. | 30 руб. | none |
3-28. Доказать следующие правила коммутации: а) [4, PX] = Q; б) [4, py] = ihpz; в) [Lx, pz]=-ihpy. | 30 руб. | none |
3-29. С помощью правил коммутации, приведенных в предыдущей задаче, показать, что: а) 14, /5х] = 0; б) [4, Р2]=9: в) [? 2, р2] = 0. | 30 руб. | none |
3-30. Доказать, что оператор L2 коммутирует с оператором кинетической энергии К. | 30 руб. | none |
3-31. Проверить следующие правила коммутации: а)Т4, 4]=ift4; б) [L,, 4]=iA4; в) [4,4]=ift4- | 30 руб. | none |
3-32. С помощью правил коммутации приведенных в предыдущей задаче показать, что оператор L2 коммутирует с операторами 4> ? у и Lz. | 30 руб. | none |
3-33. Модель пространственного ротатора - это частица с массой m, движущаяся все время на одном и том же расстоянии г0 от центра. Найти собственные значения энергии такого ротатора, считая известными собственные значения оператора L2. | 30 руб. | none |
3-34. Доказать, что если физическая величина А описывается эрмитовым оператором А, то: а) ее среднее значение вещественно; б)^ среднее значение квадрата этой величины <Л2> = | 30 руб. | none |
3-35. Показать для одномерного случая, что | 30 руб. | none |
3-36. Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее значение проекции импульса частицы равно нулю. Указание: воспользоваться выражением оператора рх через коммутатор операторов Них (см. задачу 3.11, а). | 30 руб. | none |
3-37. Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками @<х | 30 руб. | none |
3-38. Вычислить средние значения кинетической и потенциальной энергий квантового осциллятора с частотой w в основном состоянии Ф(х) = А ехр( -a2х2), где a2 = н/2hw, н - постоянная (U = нx2 /2). | 30 руб. | none |
3-39. В некоторый момент частица находится в состоянии -х2/а2), где А и а - постоянные. Найти средние значения: а) координаты х; б) проекции импульса рх. | 30 руб. | none |
3-40. Вычислить средние значения <(АхJ> и <(А/? ХJ> и их произведение: а) для частицы, находящейся на 1-м уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками @<х | 30 руб. | none |
3-41. Определить среднее значение физической величины, описываемой оператором L2 в состоянии |/(ф) = , 4 sin2 ф. | 30 руб. | none |
3-42. Вычислить средние значения <(ЛфJ> и <(ALZJ> и их произведение для системы, находящейся в состоянии ф(ф) = = A sirup. | 30 руб. | none |
3-43. Показать, что в состоянии vj/, где оператор Lz имеет определенное собственное значение, средние значения и (by} равны нулю. | 30 руб. | none |
3-44. Вычислить среднее значение квадрата момента импульса в состоянии ф@, ф) = ^5т0со8ф. | 30 руб. | none |
3-45. Возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось равны mh, где m = l, l-1, ..., -l. Имея в виду, что эти проекции равновероятны и оси равноправны, показать: в состоянии с определенным значением l среднее значение квадрата момента импульса = h2l (l+1). | 30 руб. | none |
3-46. Доказать, что собственные функции |/i и v|/2 эрмитова оператора А, принадлежащие различным собственным значениям Ai и А2 дискретного спектра, ортогональны. | 30 руб. | none |
3-47. Непосредственным вычислением убедиться в ортогональности собственных функций: а) оператора Н для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками; б) оператора Lz. | 30 руб. | none |
3-48. Система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией ij/(x), которую можно разложить по собственным функциям эрмитова оператора А, т. е. v|/(. x) = ? ctv|/k(. x). Считая функции >к нормированными на единицу: а) получить выражение, определяющее коэффициенты ск; б) показать, что среднее значение физической величины (Ay = YjAk | ск |2, где Ак- собственные значения оператора А. Каков физический смысл величин | ск |2? | 30 руб. | none |
3-49. В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками @<х | 30 руб. | none |
3-50. Определить возможные собственные значения оператора Lz и их вероятности для системы, находящейся в состоянии: а) )(<р) = А sin2cp; б) i(q>) = A (I +sincp). | 30 руб. | none |
3-51. Имея в виду, что собственные функции оператора волнового числа к (k=p/h) есть yik(x) = (l/%/2n)e k найти распределение вероятностей различных значений волнового числа к для частицы на п-м уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. | 30 руб. | none |
3-52. Выяснить, является ли волновая функция, представляющая собой суперпозицию стационарных состояний, *Р (х, t) = = ^vj/t(x)exp(icoA?), решением временного и стационарного уравнений Шредингера? | 30 руб. | none |
3-53. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти волновую функцию частицы в момент t, если в начальный момент r = 0 она имела вид 4>(х, 0) = Ах A-х). | 30 руб. | none |
3-54. Плоским ротатором называют систему из двух жестко связанных частиц, вращающуюся в плоскости вокруг своего центра масс. Оператор энергии такого ротатора имеет вид H = [ti2j2I)d2/д<р2, где /-момент инерции системы. Полагая, что в начальный момент волновая функция ротатора имела вид Ф(ф, 0) = А cos2 ф, найти эту функцию в момент t. | 30 руб. | none |
3-55. Вычислив с помощью временного уравнения Шредингера производную по времени от среднего значения некоторой физической величины А, изображаемой оператором А, показать, что: ч dA ЗА 1 l л ", j л ч d , .. /dA | 30 руб. | none |
3-56. Доказать операторные равенства: a) - (Л + . б) = ; 6) - (AB)=-B+A -. dty > dt dt dty > dt dt | 30 руб. | none |
3-57. Доказать справедливость следующих уравнений движения в операторной форме: a) dx/dt=px/m; б) dpx/dt = -BU/дх. | 30 руб. | none |
3-58. Согласно теореме Эренфеста, средние значения механических величин подчиняются законам классической механики. Доказать, что при движении частицы в потенциальном поле Uhc): a) = | 30 руб. | none |
3-59. Доказать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле U(x), выполняются следующие операторные равенства: ч d , 2 I 1 - 3) M ) = (XP+PXh dtv их> m ox | 30 руб. | none |
3-60. Показать, что производная по времени от оператора Lx равна оператору проекции момента внешних сил, т. е. d - - l ди ди | 30 руб. | none |
3-61. Частица находится в состоянии, описываемом собственной функцией ) оператора А, который не зависит от времени явно. Показать, что соответствующее собственное значение А этого оператора будет сохраняться во ^ времени, если оператор А коммутирует с гамильтонианом Н. | 30 руб. | none |
3-62. Какие из механических величин (энергия Е, проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса) сохраняются при движении частицы: а) в отсутствие поля (свободное движение); б) в однородном потенциальном поле U(z) = az, где а- постоянная; в) в центрально-симметричном потенциальном поле U(r); г) в однородном переменном поле U(z, t) - a{t)zl | 30 руб. | none |
3-63. Частица находится в некотором состоянии ^V{x, t), причем Ч* (х, i) не является, собственной функцией оператора А. Зная, что оператор А не зависит от времени явно и коммутирует с гамильтонианом Н, показать: а) среднее значение величины А сохраняется; б) вероятности определенных значений величины А также не зависят от времени. | 30 руб. | none |
3-64. Преобразование инверсии заключается в одновременном изменении знака всех декартовых координат: х->- х , у-*-у , z-*-z . Записать преобразование инверсии в цилиндрической и сферической системах координат. | 30 руб. | none |
3-65. Найти собственные значения оператора инверсии Р, действие которого на функцию заключается, как известно, в изменении знака всех декартовых координат. | 30 руб. | none |
3-66. Доказать, что оператор инверсии Р коммутирует с операторами момента импульса Lx, Ly, Lz и L2. | 30 руб. | none |
3-67. Показать, что четность состояния частицы в центрально-симметричном поле определяется четностью орбитального квантового числа /, а именно Р=(-1) . | 30 руб. | none |
3-68. Показать, что четность состояния системы невзаимодействующих частиц в центрально-симметричном поле Р = (-l)^ 1, где /, - орбитальные квантовые числа частиц. | 30 руб. | none |
3-69. Показать, что гамильтониан Н для центрально-симметричного поля при инверсии координат не меняется, т. е. оператор инверсии Р и гамильтониан Н коммутируют между собой. | 30 руб. | none |
3-70. Частица находится в центрально-симметричном поле в состоянии, описываемом волновой функцией ЧМг, ?), которая удовлетворяет общему уравнению Шредингера. Показать, что если в момент t функция Ч(г, i) была четной, то четность ее сохраняется и в последующие моменты времени. | 30 руб. | none |
3-71. Доказать, что закон сохранения четности является следствием инвариантности гамильтониана Н по отношению к преобразованию инверсии. | 30 руб. | none |
3-72. Атом находится в четном состоянии с L = 0. Пусть энергетически возможен распад этого атома на свободный электрон и ион, остающийся в нечетном состоянии с тем же значением L = 0. Показать, что закон сохранения четности запрещает такой процесс. | 30 руб. | none |
3-73. Можно ли утверждать, что закон сохранения четности вытекает из закона сохранения момента импульса? | 30 руб. | none |
3-74. Рассмотреть вопрос сохранения четности состояния частицы в полях, приведенных в задаче 3.62. | 30 руб. | none |
3-75. Преобразовать оператор полной энергии для частицы в центрально-симметричном поле U(r) к виду Какой вид имеет оператор К?. | 30 руб. | none |
3-76. Частица массы m движется в центрально-симметричном потенциальном поле U(r). Найти: а) уравнения Шредингера для угловой и радиальной частей волновой функции |/ (г, 9, ф) = Л(г)- F(9, ф). Считая собственные значения оператора L2 известными, привести уравнение для функции R (г) к виду C. 14); б) зависимость волновой функции от азимутального угла ф. | 30 руб. | none |
3-77. Частица находится в центрально-симметричном потенциальном поле в состоянии )/(г, 0, ф) = Л,(г) У(т(9, ф). Каков физический смысл функции | Fim|2? Воспользовавшись табл. 3.1, вычислить нормировочные коэффициенты функций: a) Yuo; б) ? 2Л. | 30 руб. | none |
3-78. Частица массы m находится в сферически-симметричной потенциальной яме, где U(r)= О при г<г0 и U=oo при r = г0, где г0 - радиус ямы. Найти: а) возможные значения энергии и нормированные собственные функции частицы в s-состояниях (/=0), где )/-функция зависит только от г. При решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой ii - x/r; б) наиболее вероятное значение гвер и вероятность w нахождения частицы в области г<гвер в основном состоянии. Изобразить примерные графики функций J/2 (г) и | 30 руб. | none |
3-79. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти средние значения <г>, <г2) и среднего квадратического отклонения <(г - <г"2> для частицы, находящейся на и-м s-уровне (/=0). | 30 руб. | none |
3-80. Частица массы m находится в сферически-симметричной потенциальной яме, где U(r) = 0 при г<г0 и U=ao при r = г0, где г0 - радиус ямы. Воспользовавшись решением задачи 3.78, найти: а) радиальную часть )/-функции, Rt (г), описывающей р- состояние частицы (/=1). Для этого продифференцировать уравнение C. 14), определяющее функции R0(r) s-состояний, и полученное выражение сравнить с уравнением, определяющем функцию Rt (r); б) энергию первого р-уровня, сравнить ее с энергией основного состояния. | 30 руб. | none |
3-81. Частица массы m находится в сферически-симметричной потенциальной яме, где U(r) = 0 при rr0. а) Найти с помощью подстановки уравнение, определяющее собственные значения энергии частицы в s-состояниях (l=0) в области Еr0. | 30 руб. | none |
3-82. Привести уравнение (3.14), определяющее радиальную часть волновой функции электрона в кулоновском поле ядра Z, к безразмерному виду. В качестве единиц измерения взять атомную единицу длины (первый боровский радиус) и атомную единицу энергии (энергию связи электрона в атоме водорода). | 30 руб. | none |
3-83. Используя подстановку R{r) = x(r)jr, найти асимптотический вид радиальной части волновой функции R(r) для связанных состояний электрона в кулоновском поле ядра: а) на больших и б) на малых расстояниях от ядра. | 30 руб. | none |
3-84. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии, описываемом волновой функцией i = A exp( - r/rt). Найти: а) нормировочный коэффициент^; б) энергию Е электрона и rt (с помощью уравнения Шредингера). | 30 руб. | none |
3-85. Электрон в атоме водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией ^ = А( +аг)еаг, где А, а, а - постоянные. Найти: а) постоянные а, а и энергию Е электрона (с помощью уравнения Шредингера); б) нормировочный коэффициент А. | 30 руб. | none |
3-86. Найти для 1 s-электрона атома водорода: а) наиболее вероятное расстояние его от ядра гвер и вероятность нахождения электрона в области г<гвер; б) вероятность нахождения его вне классических границ поля. | 30 руб. | none |
3-87. Определить для ls-электрона в атоме водорода средние значения его расстояния от ядра <г>, <г2> и <(г - <г>J>. | 30 руб. | none |
3-88. Найти для основного состояния атома водорода средние значения следующих величин: а) модуля силы взаимодействия между электроном и ядром; б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром. | 30 руб. | none |
3-89. Определить среднее значение кинетической энергии и средней квадратической скорости электрона в основном состоянии атома водорода. | 30 руб. | none |
3-90. Воспользовавшись табл. 3.2, найти для 2р- и 3d- электронов атома водорода: а) наиболее вероятное расстояние от ядра; б) среднее квадратическое отклонение <(г- <г>J>. | 30 руб. | none |
3-91. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый ls-электроном в центре атома водорода. | 30 руб. | none |
3-92. Определить средний электростатический потенциал на расстоянии r от ядра атома водорода, находящегося в основном состоянии )/ = A/ч/лгi)exp( - r/rj). | 30 руб. | none |
